Selasa, 27 Januari 2015

Rumus Sudut Ganda atau Rangkap part1 Lengkap_Trigonometri

Untuk n bilangan bulat positif, ekspresi dari bentuk sin (nx) . cos (nx) , Dan tan (nx) dapat dinyatakan dalam hal sinx dan cosx hanya menggunakan rumus Euler dan teorema binomial . Untuk sin (nx) .
sin (nx)=(E ^ (Inx) -e ^ (- Inx)) / (2i)
(1)
=((E ^ (ix)) ^ n (e ^ (- ix)) ^ n) / (2i)
(2)
=((Cosx + isinx) ^ n (cosx-isinx) ^ n) / (2i)
(3)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) (cos ^ kx (isinx) ^ (nk) -cos ^ kx (-isinx) ^ (nk)) / (2i)
(4)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) cos ^ ^ kxsin (nk) x (i ^ (nk) - (- i) ^ (nk)) / (2i)
(5)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) cos ^ ^ kxsin (nk) xsin [1/2 (nk) pi].
(6)
Beberapa nilai pertama diberikan oleh
sin (2x)=2cosxsinx
(7)
sin (3x)=3cos ^ 2xsinx-dosa ^ 3x
(8)
sin (4x)=4cos ^ 3xsinx-4cosxsin ^ 3x
(9)
sin (5x)=5cos ^ 4xsinx-10cos ^ ^ 2xsin 3x + dosa ^ 5x.
(10)
Formula terkait lainnya termasuk
sin (nx)=sinxsum_ (k = 0) ^ (| _ (n-1) / 2_ |) (- 1) ^ k (nk-1; k) 2 ^ (n-2k-1) cos ^ (n-2k-1) x
(11)
=sum_ (k = 0) ^ (| _ (n-1) / 2_ |) (- 1) ^ k (n; 2k + 1) dosa ^ (2k + 1) xcos ^ (n-2k-1) x,
(12)
di mana | _X_ | adalah fungsi Floor .
Sebuah formula produk sin (nx) diberikan oleh
sin (nx) = 2 ^ (n-1) product_ (k = 0) ^ (n-1) sin ((pik) / n + x).
(13)
Fungsi sin (nx) juga dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam sinx (Untuk n aneh) atau cosx kali polinomial di sinx sebagai
sin (nx) = {(- 1) ^ ((n-1) / 2) T_n (sinx) untuk n ganjil; (-1) ^ (N / 2-1) cosxU_ (n-1) (sinx) untuk n bahkan,
(14)
di mana T_n adalah polinomial Chebyshev jenis pertama dan U_n adalah polinomial Chebyshev jenis kedua . Beberapa kasus pertama adalah
sin (2x)=2cosxsinx
(15)
sin (3x)=3sinx-4sin ^ 3x
(16)
sin (4x)=cosx (4sinx-8sin ^ 3x)
(17)
sin (5x)=5sinx-20sin ^ 3x + 16sin ^ 5x.
(18)
Demikian pula, sin (nx) dapat dinyatakan sebagai sinx kali polinomial di cosx sebagai
sin (nx) = sinxU_ (n-1) (cosx).
(19)
Beberapa kasus pertama adalah
sin (2x)=2cosxsinx
(20)
sin (3x)=sinx (-1 + 4cos ^ 2x)
(21)
sin (4x)=sinx (-4cosx + 8cos ^ 3x)
(22)
sin (5x)=sinx (1-12cos ^ 2x + 16cos ^ 4x).
(23)
Bromwich (1991) memberikan rumus
sin (na) = {nx- (n (n ^ 2-1 ^ 2) x ^ 3) / (3!) + (n (n ^ 2-1 ^ 2) (n ^ 2-3 ^ 2) x ^ 5) / (5) -... untuk n ganjil!; ncosa [x - ((n ^ 2-2 ^ 2) x ^ 3) / (! 3) + ((n ^ 2-2 ^ 2) (n ^ 2-4 ^ 2) x ^ 5) / (5 !) -...] untuk n bahkan,
(24)
di mana x = sina .
Untuk cos (nx) , Rumus multiple-angle dapat diturunkan sebagai
cos (nx)=(E ^ (Inx) + e ^ (- Inx)) / 2
(25)
=((E ^ (ix)) ^ n + (e ^ (- ix)) ^ n) / 2
(26)
=((Cosx + isinx) ^ n + (cosx-isinx) ^ n) / 2
(27)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) (cos ^ kx (isinx) ^ (nk) + cos ^ kx (-isinx) ^ (nk)) / 2
(28)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) cos ^ ^ kxsin (nk) x (i ^ (nk) + (- i) ^ (nk)) / 2
(29)
=sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) cos ^ ^ kxsin (nk) xcos [1/2 (nk) pi].
(30)
Beberapa nilai-nilai yang pertama adalah
cos (2x)=cos ^ 2x-dosa ^ 2x
(31)
cos (3x)=cos ^ 3x-3cosxsin ^ 2x
(32)
cos (4x)=cos ^ 4x-6cos ^ ^ 2xsin 2x + sin ^ 4x
(33)
cos (5x)=cos ^ 5x-10cos ^ ^ 3xsin 2x + 5cosxsin ^ 4x.
(34)
Formula terkait lainnya termasuk
cos (nx)=nsum_ (k = 0) ^ (| _n / 2_ |) ((- 1) ^ k (nk-1) 2 ^ (n 2 k-1) cos ^ (n-2k) x!) / (k (! n-2k!))
(35)
=2 ^ (n-1) cos ^ nx + nsum_ (k = 1) ^ (| _n / 2_ |) ((- 1) ^ k) / k (nk-1; k-1) 2 ^ (n-2k -1) cos ^ (n-2k) x
(36)
=sum_ (k = 0) ^ (| _n / 2_ |) (- 1) ^ k (n; 2k) dosa ^ (2k) xcos ^ (n-2k) x.
(37)
Fungsi cos (nx) juga dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam sinx (Untuk n bahkan) atau cosx kali polinomial di sinx sebagai
cos (nx) = {(- 1) ^ ((n-1) / 2) cosxU_ (n-1) (sinx) untuk n ganjil; (-1) ^ (N / 2) T_n (sinx) untuk n genap.
(38)
Beberapa kasus pertama adalah
cos (2x)=1-2sin ^ 2x
(39)
cos (3x)=cosx (1-4sin ^ 2x)
(40)
cos (4x)=1-8sin ^ 2x + 8sin ^ 4x
(41)
cos (5x)=cosx (1-12sin ^ 2x + 16sin ^ 4x).
(42)
Demikian pula, cos (nx) dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam cosx sebagai
cos (nx) = T_n (cosx).
(43)
Beberapa kasus pertama adalah
cos (2x)=-1 + 2cos ^ 2x
(44)
cos (3x)=-3cosx + 4cos ^ 3x
(45)
cos (4x)=1-8cos ^ 2x + 8cos ^ 4x
(46)
cos (5x)=5cosx-20cos ^ 3x + 16cos ^ 5x.
(47)
Bromwich (1991) memberikan rumus
cos (na) = {cosa [1 - ((n ^ 2-1 ^ 2) x ^ 2) / (! 2) + ((n ^ 2-1 ^ 2) (n ^ 2-3 ^ 2) x ^ 4) / (4) -...] n aneh!; 1- (n ^ 2 x ^ 2) / (2!) + (N ^ 2 (n ^ 2-2 ^ 2) x ^ 4) / (4!) -... N bahkan,
(48)
di mana x = sina .
Beberapa formula multi-angle pertama tan (nx) adalah
tan (2x)=(2tanx) / (1-tan ^ 2x)
(49)
tan (3x)=(3tanx-tan ^ 3x) / (1-3tan ^ 2x)
(50)
tan (4x)=(4tanx-4tan ^ 3x) / (1-6tan ^ 2x + ^ tan 4x)
(51)
diberikan oleh Beyer (1987, hal. 139) sampai n = 6 .
Formula Multiple-sudut juga dapat ditulis dengan menggunakan hubungan recurrence 
sin (nx)=2sin [(n-1) x] cosx-dosa [(n-2) x]
(52)
cos (nx)=2cos [(n-1) x] cosx-cos [(n-2) x]
(53)
tan (nx)=



(Tan [(n-1) x] + tanx) / (1-tan [(n-1) x] tanx).

Mencari rumus sudut ganda sin (nĪ±), cos (nĪ±), tan (nĪ±) 
1)             Sin 2Ī± = sin(Ī±+Ī±) = sin Ī±.cos Ī± + cos Ī±. sin Ī± = 2.sin Ī±.cos Ī±
sin 2Ī± = 2sin Ī±.cos Ī± (terbukti)
2)             Cos 2Ī± = cos(Ī±+Ī±) = cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī± = cosĀ²Ī± -(1- cosĀ²Ī±) = cosĀ²Ī± -1+cosĀ²Ī±
        cos 2Ī± = 2cosĀ²Ī± - 1 (terbukti)
3)             Cos 2Ī± = cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī± = (1 - sinĀ²Ī±) - sinĀ²Ī± = 1- sinĀ²Ī± - sinĀ²Ī±
cos 2Ī± = 1-2sinĀ²Ī± (Terbukti)
4)             Cos 2Ī± = cos(Ī±+Ī±) = cosĪ±.cosĪ± ā€“ sinĪ±.sinĪ± = 
cos 2Ī± = cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī± (terbukti)
5)             Tan 2Ī± = (tan Ī±+ tan Ī±)/(1- tan Ī±. tan Ī±)
Tan 2Ī±= (2 tan Ī±)/(1-tanĀ²Ī±) (terbukti)
6)             Tan 2Ī± = sin 2Ī±/cos 2Ī± = (2sinĪ±.cosĪ±)/(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±) = {2[(sinĪ±.cosĪ±)/cosĀ²Ī±]}/{(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±) - (sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)} =
Tan 2Ī±= (2 tan Ī±)/(1-tanĀ²Ī±) (terbukti)
7)             Tan 2Ī± = {2tanĪ±}/(1-tanĀ²Ī±} = {2tanĪ±(1/tanĪ±)}/{(1-tanĀ²Ī±)(1/tanĪ±)} = 2/{(1/tanĪ±) ā€“ (tanĀ²Ī±/tanĪ±)} = 2/{cotĪ± ā€“ tanĪ±}
        Tan 2Ī± = 2/{cotĪ± ā€“ tanĪ±} (terbukti)
8)             Tan 2Ī± = 2/{cotĪ± ā€“ tanĪ±} = (2 tan Ī±)/(1-tanĀ²Ī±) = {2cotĪ±}/{cotĀ²Ī± ā€“ 1}
9)             Cosec 2Ī± = 1/(sin 2Ī±) = 1/(2sin Ī±.cos Ī±) = 1/2 csc Ī±. sec Ī±
Cosec 2Ī± = 1/2 cosec Ī±. sec Ī± (Terbukti)
10)         cosec 2Ī± = cosec (Ī±+Ī±) = (cosecĪ±.cosecĪ±)/(cotan Ī±+cotan Ī±) = (cosecĀ²Ī±)/(2cot Ī±)
cosec 2Ī± = (cosecĀ²Ī±)/(2cot Ī±) atau (cotĀ²Ī± + 1)/(2cot Ī±) (terbukti)
11)         Cosec 2Ī± = 1/{2sinĪ±cosĪ±} = {cosecĀ²Ī±}/{2cotĪ±} = secĀ²Ī±/2tanĪ± = {1+cotĀ²Ī±}/{2cotĪ±} = {1+tanĀ²Ī±}/{2tanĪ±}
12)         Cosec 2Ī± = 1/sin2Ī± = 1/(2sinĪ±cosĪ±) = (cosĪ±)/(2sinĪ±cosĀ²Ī±) = {secĀ²Ī±}/{2(sinĪ±/cosĪ±)} = (secĀ²Ī±)/(2tanĪ±) = (1+tanĀ²Ī±)/(2tanĪ±)
Cosec 2Ī± = (1+tanĀ²Ī±)/(2tanĪ±)
13)         Cosec 2Ī± = 1/sin2Ī± = (sinĀ²Ī± + cosĀ²Ī±)/(2sinĪ±.cos Ī±) = 1/2 tan Ī± + cot Ī±
14)         Sec 2Ī± = 1/(cos 2Ī±) = 1/(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±) = 1/((1/secĀ²Ī±)-(1/cosecĀ²Ī±))
          = 1/((cosecĀ²Ī±-secĀ²Ī±)/(secĀ²Ī±.cosecĀ²Ī±)) = (secĀ²Ī± . cosecĀ²Ī±)/(cosecĀ²Ī±-secĀ²Ī±)
Sec 2Ī± = (secĀ²Ī± . cosecĀ²Ī±)/(cosecĀ²Ī±-secĀ²Ī±) (Terbukti)
15)         sec 2Ī± = sec(Ī±+Ī±) = (secĪ±.secĪ±)/(1-tanĪ±.tanĪ±) = (secĀ²Ī±) / (1-tanĀ²Ī±)
sec2Ī± = (secĀ²Ī±)/(1-tanĀ²Ī±) atau (1+tanĀ²Ī±) / (1-tanĀ²Ī±)(terbukti)
16)         sec 2Ī± = 1/{cosĀ²Ī±-sinĀ²Ī±} = 1/{2cosĀ²Ī±-1} = 1/{1-2sinĀ²Ī±}
17)         sec 2Ī± = {secĀ²Ī±}/{1-tanĀ²Ī±} = {cosecĀ²Ī±}/{cotĀ²Ī±-1} = {1+tanĀ²Ī±}/{1-tanĀ²Ī±} = {1+cotĀ²Ī±}/{cotĀ²Ī±-1}
18)         sec 2Ī± = 1/cos 2Ī± = 1/(cosĀ²Ī±-sinĀ²Ī±) = (cosĀ²Ī±+sinĀ²Ī±)/(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±) = {(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)+(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}/{(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)-(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)} = {1+tanĀ²Ī±}/{1-tanĀ²Ī±}
sec 2Ī± = {1+tanĀ²Ī±}/{1-tanĀ²Ī±} terbukti
19)         cotan 2Ī± = 1/ tan 2Ī± = 1/ tan (Ī±+Ī±) = 1/ (2tan Ī±/(1-tanĀ²Ī±)) = 1-tanĀ²Ī± / 2 tanĪ±
            cotan 2Ī± = 1-tanĀ²Ī± / 2 tanĪ±
          * lanjutan cotan 2Ī±, = (1-(1/cotĀ²Ī±))/ (2.(1/cot Ī±))
= (cot Ī±.cotĪ± -1)/ (cotĪ± + cotĪ±) = (cotĀ²Ī± -1 /cotĀ²Ī±) x (cot Ī±/2)
cotan 2Ī±  =  (cotĀ²Ī± -1)/(2 cot Ī±) atau (1-tanĀ²Ī±)/(2tan Ī±) atau (cot Ī±-tanĪ±)/2 (Terbukti)
20)         cotan 2Ī± = cot(Ī±+Ī±) = (cot Ī±.cot Ī± -1) / (cotĪ±+cotĪ±)
          cotan 2Ī± = (cotĀ²Ī± -1) / (2 cot Ī±) (terbukti)
21)         cotan 2Ī± = cos 2Ī±/sin 2Ī± = {cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±}/{2sinĪ±cosĪ±} = (cosĪ±cosĪ±/2sinĪ±cosĪ±) ā€“ (sinĪ±sinĪ±/2sinĪ±cosĪ±) = (cosĪ±/2sinĪ±) ā€“ (sinĪ±/2cosĪ±) = Ā½ (cotĪ± ā€“ tanĪ±)
22)         cotan 2Ī± = cos 2Ī±/sin 2Ī± = (cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±)/ 2 (sinĪ±cosĪ±) = Ā½ {(cosĪ±/sinĪ±) ā€“ (sinĪ±/cosĪ±)}
cotan 2Ī± = Ā½ (cotĪ± ā€“ tanĪ±)
23)         cotan 2Ī± = {cotĪ± ā€“ tanĪ±}/2 = {1-tanĀ²Ī±}/{2tanĪ±} = {cotĀ²Ī±-1}/{2cotĪ±}
24)         Sin 3Ī± = sin (Ī± + 2Ī±)
            = sin Ī± cos 2Ī± + sin 2Ī± cos Ī±
            = sin Ī± (1 - 2 sinĀ² Ī±) + (2 sin Ī± cos Ī±) cos Ī±
            = sin Ī± - 2 sinĀ³ Ī± + 2 sin Ī± cosĀ² Ī±
            = sin Ī± - 2 sinĀ³ Ī± + 2 sin Ī± (1 - sinĀ² Ī±)
Sin 3Ī± = 3 sin Ī± - 4 sinĀ³ Ī± (terbukti)
25)         Sin 3Ī± = sin ( 2Ī± + Ī±)= sin 2Ī±.cos Ī± + cos2Ī±.sin Ī±
= (2sin Ī±.cos Ī±)cos Ī± + (1-2.sinĀ²Ī±).sin Ī±
= 2.sin Ī±.cosĀ² Ī± + sin Ī± - 2. sinĀ³ Ī±
          = 2.sin Ī±(1 ā€“ sinĀ²Ī±) + sin Ī± ā€“2.sinĀ³Ī±
= 2.sin Ī± ā€“2.sin Ā³Ī± + sin Ī± ā€“2.sin Ā³Ī±
      Sin 3Ī± = 3.sin Ī± ā€“4.sinĀ³Ī± (terbukti)
26)         Sin 3 Ī±= sin (2Ī±+Ī±)
             = sin 2Ī± cos Ī± + cos 2Ī± sin Ī±
             = 2 sin Ī± cos Ī± cos Ī± + (1-2 sinĀ² Ī±) sin Ī±
             = 2 sin Ī± cosĀ²Ī± + sin Ī± - 2sinĀ³ Ī±
             = 2 sin Ī±(1 - sinĀ²Ī±) + sin Ī± - 2sinĀ³ Ī±
            = 2 sin Ī± - 2sinĀ³ Ī± + sin Ī± - 2sinĀ³ Ī±
Sin 3Ī± = 3 sin Ī± - 4 sinĀ³ Ī± (terbukti)
27)         Sin (3Ī±) = sin(Ī±+2Ī±) = sin(Ī±).cos(2Ī±) + cos(Ī±).sin(2Ī±)
= sin(Ī±)(cosĀ²(Ī±) āˆ’ sinĀ²(Ī±)) + cos(Ī±)(2sin(Ī±)cos(Ī±))
= sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) āˆ’ sinĀ³(Ī±) + 2sin(Ī±)cosĀ²(Ī±)
sin 3Ī± = 3sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) āˆ’ sinĀ³(Ī±) (Terbukti) 
28)         Sin 3Ī± = 3cosĀ²Ī±.sinĪ± ā€“ sinĀ³Ī± = 3(1-sinĀ²Ī±)sinĪ± ā€“ sinĀ³Ī± = 3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±
29)         Sin 3Ī± = sin(Ī±+2Ī±) = sinĪ±.cos2Ī± + cosĪ±.sin2Ī± = sinĪ±(cosĀ²Ī± āˆ’ sinĀ²Ī±) + cosĪ±(2sinĪ±.cosĪ±)
= cosĀ²Ī±.sinĪ± āˆ’ sinĀ³Ī± + 2cosĀ²Ī±.sinĪ± = 3cosĀ²Ī±.sinĪ± - sinĀ³Ī± = sinĪ±(3cosĀ²Ī±-sinĀ²Ī±) = sinĪ±(3(1-sinĀ²Ī±)-sinĀ²Ī±) = sinĪ±(3-4sinĀ²Ī±) = 3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±
Sin 3Ī± = 3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±
30)         Cos 3Ī± = cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±.sinĀ³Ī± = cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±(1-cosĀ²Ī±) = 4cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±
31)         Cos 3Ī± = cos (2Ī±+Ī±)
              = Cos2Ī±.cosĪ± - sin2Ī±.SinĪ±
              = (2cosĀ²Ī±-1)CosĪ± - 2sinĀ²Ī±.cosĪ±
              = 2cosĀ³Ī± - CosĪ± - 2(1-cosĀ²Ī±)CosĪ±
              = 2cosĀ³Ī± - CosĪ± - 2cosĪ± + 2cosĀ³Ī±
Cos 3Ī±  = 4cosĀ³A - 3cosA (Terbukti)
32)         Cos 3Ī± = cos(Ī±+2Ī±) = cos(Ī±)cos(2Ī±) āˆ’ sin(Ī±)sin(2Ī±)
= cos(Ī±)(cosĀ²(Ī±) āˆ’ sinĀ²(Ī±)) āˆ’ sin(Ī±) x 2 sin(Ī±)cos(Ī±)
= cosĀ³(Ī±) āˆ’ sinĀ²(Ī±)cos(Ī±) āˆ’ 2 sinĀ²(Ī±)cos(Ī±)
          cos 3Ī± = cosĀ³(Ī±) āˆ’ 3 sinĀ²(Ī±)cos(Ī±) (terbukti)
33)         Cos 3Ī± = cos(Ī±+2Ī±) = cosĪ±.cos2Ī± ā€“ sinĪ±.sin2Ī± = cosĪ±(cosĀ²Ī± āˆ’ sinĀ²Ī±) ā€“ sinĪ±(2sinĪ±.cosĪ±)
= cosĀ³Ī± āˆ’ cosĪ±.sinĀ²Ī± āˆ’ 2cosĪ±.sinĀ²Ī± = cosĀ³Ī± āˆ’ 3cosĪ±.sinĀ²Ī± = cosĪ±(cosĀ²Ī± ā€“ 3sinĀ²Ī±) = cosĪ±(cosĀ²Ī± ā€“ 3(1-cosĀ²Ī±)) = cosĪ±(cosĀ²Ī± ā€“ 3+3cosĀ²Ī±) = cos Ī± (4cosĀ²Ī±-3) = 4cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±
Cos 3Ī± = 4cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±
34)         Tan (3Ī±) = Tan (2Ī± + Ī±)
               = (2tan Ī± / (1-tanĀ²Ī±) + Tan Ī±) / (1 - 2tanĀ²Ī± / (1-tanĀ²Ī±))
              = (2tanĪ± + Tan Ī± (1-tanĀ²Ī±)) / ((1-tanĀ²Ī±) - 2tanĀ²Ī±)
             = (2tanĪ± + Tan Ī± - tanĀ³Ī±) / (1 - 3tanĀ²Ī±
Tan 3Ī± = (3tan Ī± - tanĀ³Ī±) / (1 - 3tanĀ²Ī±) (terbukti)
35)         Tan 3Ī± = sin 3Ī± / cos 3Ī±
          = Sin (2Ī±+Ī±)/cos (2Ī±+Ī±)
           = [Sin 2Ī±cos Ī± + cos2Ī±.sin Ī±] / [cos2Ī±cosĪ± - sin2Ī±sinĪ±]
           = [2sin Ī±.cosĀ²Ī± + cos Ā²Ī±.sin Ī± - sinĀ³Ī±] / [cosĀ³Ī± - sinĀ²Ī±.cos Ī± - 2sinĀ²Ī±.cos Ī±]
            = [3sin Ī±.cos Ā²Ī± - sin Ā³Ī±] / [cosĀ³Ī± - 3sinĀ²Ī±. cos Ī±]
Membagi pembilang dan penyebut dengan cos Ā³Ī± untuk mendapatkan:
            = [3sin Ī±. cosĀ²Ī±/cosĀ³Ī± - sinĀ³Ī±/cosĀ³Ī±]/[cosĀ³Ī±/cosĀ³Ī± - 3sinĀ²Ī±.cosĪ±/cosĀ³Ī±]
           = [3sin Ī± / Cos Ī± - tan Ā³Ī±] / [1 - 3sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī± 

Tan 3Ī± = [3tan Ī± - tan Ā³Ī±] / [1 - 3tan Ā²Ī±] (terbukti)
36)         Tan 3Ī± = tan(2Ī±+Ī±) = (tan2Ī±+tanĪ±)/(1- tan2Ī±.tanĪ±) 
            = {[(2tanĪ±)/(1-tanĀ² Ī±)]+ tan Ī±}/{1-(2tan Ī±/1-tanĀ² Ī±)(tan Ī±)}
  = {[(2tan Ī±)/(1-tanĀ² Ī±)]+{[(1-tanĀ² Ī±)tan Ī±]/(1-tanĀ² Ī±)}/{[(1-tanĀ² Ī±)/ (1-tanĀ² Ī±)]-[2tanĀ² Ī±/(1-tanĀ² Ī±)]} 
            = {[(2tanĪ± + tanĪ± - tanĀ³Ī±)/(1-tanĀ²Ī±)]/[(1-tanĀ²Ī± - 2tanĀ²Ī±)/(1 - tanĀ²Ī±)]} 
            = {2tanĪ± + tanĪ± - tanĀ³Ī±}/{1 - tanĀ²Ī± - 2tanĀ²Ī±} 
Tan 3Ī± = {3tan Ī± ā€“ tanĀ³Ī±}/{1-3tanĀ²Ī±} (Terbukti)
37)         Tan 3Ī± = sin 3Ī±/cos 3Ī± = {3cosĀ²Ī±.sinĪ± ā€“ sinĀ³Ī±}/{cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±sinĀ³Ī±} = {sinĪ±(3cosĀ²Ī± -sinĀ²Ī±)}/{cosĪ±(cosĀ²Ī± -3sinĀ²Ī±)} = {sinĪ±(3-tanĀ²Ī±)}/{cosĪ±(1-3tanĀ²Ī±)} = {(sinĪ±/cosĪ±)(3-tanĀ²Ī±)}/{1-3tanĀ²Ī±} = {tanĪ±(3-tanĀ²Ī±)}/(1-3tanĀ²Ī±)
Tan 3Ī± = {3tanĪ± ā€“ tanĀ³Ī±}/{1-3tanĀ²Ī±}
38)         Tan 3Ī± = tan(2Ī±+Ī±) = (tan2Ī± + tanĪ±)/(1- tan2Ī±.tanĪ±) = {([2tanĪ±/1-tanĀ²Ī±]+ tan Ī±)(1-tanĀ²Ī±}/[{1-(2tan Ī±/1-tanĀ²Ī±)(tanĪ±)}(1-tanĀ²Ī±)] = = {2tanĪ± + tanĪ± - tanĀ³Ī±}/{1 - tanĀ²Ī± - 2tanĀ²Ī±} = {3tanĪ± ā€“ tanĀ³Ī±}/{1-3tanĀ²Ī±}
39)         cosec 3Ī± = 1/(sin 3Ī±) = 1/(3sin Ī± - 4sinĀ³Ī±) atau (cosecĀ³Ī±)/(3cotĀ²Ī± - 1)
40)         sec 3Ī± = 1 /cos (3Ī±) = 1 /(4cosĀ³Ī± - 3cosĪ±) atau (secĀ³Ī±)/(1 - 3tanĀ²Ī±)
41)         Cot 3Ī± = cos 3Ī±/sin 3Ī± = {cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±sinĀ³Ī±}/{3cosĀ²Ī±.sinĪ± ā€“ sinĀ³Ī±} = {cotĀ³Ī± ā€“ 3cot Ī±}/{3cotĀ²Ī± ā€“ 1}
42)         Cotan 3Ī±, ingat Tan 3Ī± = {tanĪ± + tan 2Ī±}/{1 ā€“ tanĪ± .tan 2Ī±} = {(tan Ī±+ 2tanĪ±)/(1 ā€“ tanĀ²Ī±)}/{(1 ā€“ tanĪ±.2tanĪ±)/(1 ā€“ tanĀ²Ī±)} = {tan Ī±(1 ā€“ tanĀ²Ī±)+2tanĪ±}/{1 ā€“ tanĀ²Ī± ā€“ 2tanĀ²Ī±} = {3tan Ī± ā€“ tanĀ³Ī±}/{1 ā€“ 3tanĀ²Ī±} = {3 cotĀ²Ī± ā€“ 1}/{cotĀ³Ī± ā€“ 3cot Ī±}
          Sehingga
          Cot 3Ī± = 1/tan3Ī± = {cotĀ³Ī± ā€“ 3cot Ī±}/{3 cotĀ²Ī± ā€“ 1} Terbukti
43)         Cotan 3Ī± = cos(3 Ī±)/sin(3 Ī±)
          = [4cosĀ³(Ī±) - 3cos(Ī±)]/[3sin(Ī±) - 4sinĀ³(Ī±)]
Membagi kedua pembilang dan penyebut dengan sinĀ³(Ī±)
= {4(cosĀ³(Ī±)/sinĀ³(Ī±)) - 3(cos(Ī±)/sinĀ³(Ī±))}/{3(sin(Ī±)/sinĀ³(Ī±))-4(sinĀ³(Ī±)/sinĀ³(Ī±))}
=  {4cotĀ³(Ī±) - 3(cos(Ī±)/sin(Ī±))(1/sinĀ²(Ī±))}/{3(1/sinĀ²(Ī±)) - 4}
= [4cotĀ³(Ī±) - 3cot(Ī±)cscĀ²(Ī±)]/[3cscĀ²(Ī±) - 4]
Ingat: cscĀ²(Ī±) - cotĀ²(Ī±) = 1, cot(Ī±) = cos(Ī±)/sin(Ī±),
= [4cotĀ³(Ī±) - 3cot(Ī±){1 + (cotĀ²(Ī±))}]/[3{1 + (cotĀ²(Ī±))} - 4]
          cotan 3Ī± = [cotĀ³(Ī±) - 3cot(Ī±)]/[3cotĀ²(Ī±) - 1]
        cotan 3Ī± = (3cotĪ± - cotĀ³Ī±)/ (1 - 3cotĀ²Ī±) atau (1 - 3tanĀ²Ī±)/ (3tan Ī± - tanĀ³Ī±) (terbukti)
44)         Cot (Ī±+Ī²+Ļ‚) = {Re (i+cot Ī±)(i+cot Ī²)(i+cot c)}/{Im (i+cot Ī±)(i+cot Ī²)(i+cot c)}
          = {cotĪ±.cotĪ².cotĻ‚ ā€“ cotĪ± ā€“ cotĪ² ā€“ cotĻ‚} / {cotĪ±.cotĪ² + cotĪ±.cotĻ‚ + cotĪ².cot Ļ‚ ā€“ 1}
          Cot 3Ī± = {cotĀ³Ī± ā€“ 3cot Ī±}/ {3cotĀ²Ī± ā€“ 1} Terbukti
45)         Cot 3Ī± = cot (2Ī±+Ī±)
          Dalam tan Ī± = 1/(tan (2Ī±+Ī±) = {1/(tan2Ī±+tan Ī±)}/{1-tan2Ī±.tanĪ±} = (1-tan2Ī±.tanĪ±)/(tan 2Ī±+tan Ī±)
          Dalam cot Ī± = {1-(1/cot 2Ī±)(1/cot Ī±)}/{(1/cot 2Ī±) + (1/cot Ī±)} = {(cot 2Ī±.cot Ī± ā€“ 1)/(cot 2Ī±.cot Ī±)}/{(cot Ī±+cot 2Ī±)/(cot 2Ī±.cot Ī±)} = (cot 2Ī±.cot Ī± ā€“ 1)/(cot 2Ī± + cot Ī±)
          Cot 3ɑ = (cot 2Ī±.cot Ī± ā€“ 1)/(cot 2Ī± + cot Ī±)
46)         Cot 3Ī± = cos 3Ī±/sin 3Ī± = {4cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±}/{3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±} = {[4cosĀ³Ī± ā€“ 3cosĪ±]/cosĀ³Ī±}x{1/[3(sinĪ±/cosĀ³Ī±)-4(sinĀ³Ī±/cosĀ³Ī±)]}= {4-(3/cosĀ²Ī±)}/{1/[3(sinĪ±/cosĪ±)(1/cosĀ²Ī±)-4tanĀ³Ī±]} = {4-3(1+tanĀ²Ī±)}/{3tan Ī±(1+tanĀ²Ī±)-4tanĀ³Ī±} = {4-3-tanĀ²Ī±}/{3tanĪ±+3tanĀ³Ī± ā€“ 4tanĀ³Ī±} = {1-(1/cotĀ²Ī±)}/{(3/cotĪ±) ā€“ (1/cotĀ³Ī±)} = (cotĀ²Ī±-1/cotĀ²Ī±)x(cotĀ³Ī±/3cotĀ²Ī±-1)
Cot 3Ī± = (cotĀ³Ī± ā€“ 3cotĪ±)/(3cotĀ²Ī±-1)
47)         Sin 4Ī± = sin 2(2Ī±) = 2sin2Ī±.cos2Ī± = 2(2sinĪ±.cosĪ±)(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±)
sin 4Ī± = 4sinĪ±.cosĀ³Ī± - 4sinĀ³Ī±.cosĪ± (terbukti)
48)         sin 4a = sin 2(2Ī±) = 2sin2Ī±.cosĪ± = 2(2sinĪ±.cosĪ±)(1-2sinĀ²Ī±)
sin 4Ī± = 4 sin Ī± cos Ī± - 8 sinĀ³ Ī± cos Ī± (terbukti)
49)         Sin 4Ī± = 4cosĀ³Ī±sinĪ± ā€“ 4 cosĪ±sinĀ³Ī± = 4cosĪ±(1-sinĀ²Ī±)sinĪ± ā€“ 4cosĪ±sinĀ³Ī± = 4cosĪ±(sinĪ± ā€“ 2sinĀ³Ī±)
50)         Sin 4Ī± = sin 2(2Ī±) = 2sin2Ī±.cos2Ī± = 2(2sinĪ±.cosĪ±)(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±) = 4cosĪ±.sinĪ±(cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±) = 4cosĀ³Ī±.sinĪ± ā€“ 4cosĪ±.sinĀ³Ī± = 4sinĪ±.cosĪ±(cosĀ²Ī±-sinĀ²Ī±) = 4sinĪ±.cosĪ±{(1-sinĀ²Ī±)-sinĀ²Ī±} = 4sinĪ±.cosĪ±(1-2sinĀ²Ī±) = 4sinĪ±.cosĪ± ā€“ 8sinĀ³Ī±.cosĪ±
Sin 4Ī± = 4sinĪ±.cosĪ± ā€“ 8sinĀ³Ī±.cosĪ±
51)         Cos 4Ī± = cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī± + sinā“Ī± = cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±(1 ā€“ cosĀ²Ī±)+(1 ā€“ cosĀ²Ī±)Ā² =
          Cos 4Ī± = 8cosā“Ī± ā€“ 8cosĀ²Ī± + 1
52)         Cos 4Ī± = cos 2(2Ī±) = 2cosĀ²2Ī± ā€“ 1 = 2(2cosĀ²Ī± - 1)Ā² - 1 = 2(4cosā“Ī± - 2cosĀ²Ī± + 1) - 1
             = 8 cos
ā“Ī± - 8 cosĀ² Ī± + 2 - 1
cos 4Ī± =  8 cos
ā“Ī± ā€“ 8 cosĀ² Ī± + 1 (Terbukti)
53)         cos 4Ī± = 1-2sinĀ²2Ī± = 1-2(2sinĪ±cosĪ±)Ā² = 1-8sinĀ²Ī±cosĪ± = 1-8sinĀ²Ī±(1-sinĀ²Ī±)
          cos 4Ī± = 1-8sinĀ²Ī± + 8sinā“Ī± (terbukti)
54)         cos 4Ī± = cos (2Ī±+2Ī±) = cos2Ī±.cos2Ī± ā€“ sin2Ī±.sin2Ī± = cosĀ²2Ī± ā€“ sinĀ²2Ī±
                   = (2cosĀ²Ī± ā€“ 1)Ā² - (2sinĪ±cosĪ±)Ā² = 4cosā“Ī± ā€“ 4cosĀ²Ī± +1 ā€“ 4sinĀ²Ī±cosĀ²Ī±
                   = 4cosā“Ī± ā€“ 4cosĀ²Ī± +1 ā€“ 4(1 ā€“ cosĀ²Ī±)cosĀ²Ī± = 4cosā“Ī± ā€“ 4cosĀ²Ī± +1 ā€“ 4(cosĀ²Ī± - cosā“Ī±) = 4cosā“Ī± ā€“ 4cosĀ²Ī± +1 ā€“ 4cosĀ²Ī± +4cosā“Ī±
          Cos 4Ī± = 8cosā“Ī± ā€“ 8cosĀ²Ī± +1 (terbukti)
55)         cos 4Ī± = cos (2Ī±+2Ī±) = cos 2Ī± cos 2Ī± ā€“ sin2Ī± sin2Ī± = cosĀ²2Ī± ā€“ sinĀ²2Ī± = (cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±)Ā² - (2sinĪ±.cosĪ±)Ā² = cosā“Ī± - 2cosĀ²Ī±.sinĀ²Ī± + sinā“Ī± - 4cosĀ²Ī±.sinĀ²Ī± = cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±.sinĀ²Ī± + sinā“Ī± = cosā“Ī± - 6cosĀ²Ī±.sinĀ²Ī± + (sinĀ²Ī±)Ā² = cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±(1-cosĀ²Ī±) + (1-cosĀ²Ī±)Ā² = cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī± + 6cosā“Ī± + 1 ā€“ 2cosĀ²Ī± + cosā“Ī± = 8cosā“Ī± ā€“ 8cosĀ²Ī± + 1
cos 4Ī± = 8cosā“Ī± ā€“ 8cosĀ²Ī± + 1
56)         cos 4Ī± = cos 2(2Ī±) = cosĀ²2Ī± - sinĀ²2Ī± = (cosĀ²Ī± - sinĀ²Ī±)Ā² - (2sinĪ±.cosĪ±)Ā²
= cos
ā“Ī± - 2sinĀ²Ī±.cosĀ²Ī± + sinā“Ī± - 4sinĀ²Ī±.cosĀ²Ī±
          cos 4Ī± = cosā“Ī± + sinā“Ī± - 6sinĀ²Ī±.cosĀ²Ī±
57)               57) Kita tahu tan 2Ī± = 2tan Ī± / (1-tanĀ²Ī±)
 Dengan ini kita dapat menulis,
 Tan 4Ī± = tan2 (2Ī±)
      = 2 tan2A / (1- tanĀ² 2Ī±) ............ (1)
     tan2Ī± = 2tan Ī± / (1- tanĀ² Ī±) ............... (2)
Padukan (2) dalam (1)
2 [2tan Ī± / (1- tanĀ² Ī±)]
= -------------------------------------...
1- [2 Tan Ī± / (1- tanĀ²Ī±)]Ā²
4 Tan Ī± / (1- tanĀ²Ī±)
= ----------------------------------------...
[(1- tanĀ²Ī±)Ā² - 4tanĀ²Ī±]/(1-tanĀ²Ī±)Ā²

[Salib multiply di penyebut, sekarang salah satu 1- tanĀ²Ī± akan dibatalkan]
4tan Ī±
= ----------------------------------------...
[1 + tan
ā“Ī± - 2tanĀ²Ī± 4tanĀ²Ī±] / (1-tanĀ²Ī±)
Penyebut dari penyebut adalah pembilang
= 4tan Ī± (1- tanĀ²Ī±) / [1 - 6tanĀ²Ī± + tan
ā“Ī±]
Tan 4Ī± = (4 Tan Ī± - 4 tanĀ³Ī±) / [1- 6tanĀ²Ī± + tanā“Ī±] (terbukti)
58)         Tan 4Ī± = sin 4Ī±/cos 4Ī± = {4cosĀ³Ī±sinĪ± ā€“ 4 cosĪ±sinĀ³Ī±}/{cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī± + sinā“Ī±} = {4(cosĀ³Ī±sinĪ±/cosā“Ī±)-4(cosĪ±sinĀ³Ī±/cosā“Ī±)}/{(cosā“Ī±/cosā“Ī±) ā€“ 6(cosĀ²Ī±sinĀ²Ī±/cosā“Ī±)+(sinā“Ī±/cosā“Ī±)} =
          Tan 4ɑ = {4tanĪ± ā€“ 4 tanĀ³Ī±}/{1-6tanĀ²Ī± + tanā“Ī±} = {4tanĪ±(1-tanĀ²Ī±)}/{1-6tanĀ²Ī± + tanā“Ī±}
59)         Tan4Ī± = ingat tan 2Ī± = {2tanĪ±}/{1-tanĀ²Ī±} maka,
          Tan4Ī± = tan 2(2Ī±) = {2tan2Ī±}/{1-tanĀ²2Ī±} = {2(2tan Ī±/1-tanĀ²Ī±)}/[1-{2tan Ī±/(1-tanĀ²Ī±)}Ā²] = (4tan Ī±/(1-tanĀ²Ī±)) / [1-{4tanĀ²Ī±/(1-tanĀ²Ī±)Ā²}] = {4tan Ī±/(1-tanĀ²Ī±)} / [{(1-tanĀ²Ī±)Ā² - 4tanĀ²Ī±}/(1-tanĀ²Ī±)Ā²] = {4tan Ī± (1-tanĀ²Ī±)}/{(1-tanĀ²Ī±)Ā² - 4 tanĀ²Ī±} = {4tan Ī± (1-tanĀ²Ī±)}/{1+tanā“Ī± ā€“ 2tanĀ²Ī± ā€“ 4tanĀ²Ī±}
          Tan 4ɑ = {4tan Ī± ā€“ 4tanĀ³Ī±}/{1 ā€“ 6tanĀ²Ī± +tanā“Ī±}
60)         Cot 4Ī± = ingat teorema de moivre dimana n integer
          (cos Ī±+isinĪ±)āæ = cos (nĪ±) + isin(nĪ±) ā†’n = 4
          Maka (cos Ī±+isinĪ±)ā“ = cos 4Ī± + isin 4Ī± = cosā“Ī± + 4icosĀ³Ī±sinĪ± - 6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī± ā€“ 4i cosĪ±sinĀ³Ī± + sinā“Ī± = {cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī± + sinā“Ī±} + i{4cosĀ³Ī±sinĪ± ā€“ 4 cosĪ±sinĀ³- }
          Cotan 4Ī± = cos 4Ī±/sin 4Ī± = {cosā“Ī± ā€“ 6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī± + sinā“Ī±}/{4cosĀ³Ī±sinĪ± ā€“ 4 cosĪ±sinĀ³Ī±} = {(cosā“Ī±/sinā“Ī±) ā€“ (6cosĀ²Ī±sinĀ²Ī±/ sinā“Ī±)+(sinā“Ī±/sinā“Ī±)}/{4(cosĀ³Ī±sinĪ±/sinā“Ī±) ā€“ 4(cosĪ±sinĀ³Ī±/sinā“Ī±)}
          cotan 4Ī± = {cotā“Ī± ā€“ 6cotĀ²Ī± + 1}/{4cotĀ³Ī± ā€“ 4cotĪ±}
61)         Sin 5Ī± = sin5Ī± + sinĪ± - sinĪ±
     = 2 sin3Ī± cos2Ī± - sinĪ±
     = 2 (3sinĪ± - 4sinĀ³ Ī±) (1 - 2sinĀ² Ī±) - sinĪ±
     = 2 (8sināµ Ī± - 10sinĀ³ Ī± + 3sinĪ±) - sinĪ±
Sin 5Ī± = 16sināµ Ī± - 20sinĀ³ Ī± + 5sinĪ± (Terbukti)
62)         Sin 5Ī± = sin(4Ī± + Ī±) = sin4Ī± cosĪ± + cos4Ī± sinĪ±
            = 2 sin2Ī± cos2Ī± cosĪ± + (1 - 2sinĀ² 2Ī±) sinĪ±
            = 4sinĪ± cosĪ± cos2Ī± cosĪ± + sinĪ± - 2sinĀ² Ī± sinĪ±
            = 4 sinĪ± cosĀ² Ī± (1 - 2sinĀ² Ī±) + sinĪ± - 2 (2sinĪ± cosĪ±)Ā² sinĪ±
            = 4 sinĪ± (1 - sinĀ² Ī±) (1 - 2sinĀ² Ī±) + sinĪ± - 2 (4sinĀ² Ī± cosĀ² Ī±) sinĪ±
            = 4 sinĪ± (1 - 3 sinĀ² Ī± + 2sinā“ Ī±) + sinĪ± - 2 [4 sinĀ³ Ī± * (1 - sinĀ² Ī±)]
            = 4 sinĪ± - 12sinĀ³ Ī± + 8sināµ Ī± + sinĪ± - 8sinĀ³ Ī± + 8 sināµ Ī±
Sin 5Ī± = 16 sināµ Ī± - 20 sinĀ³ Ī± + 5 sinĪ±. (Terbukti)
63)         Cos 5Ī± = cos 5Ī± + cosĪ± - cosĪ±
             = 2 cos3Ī± cos2Ī± - cosĪ±
             = 2 (4cosĀ³ Ī± - 3cosĪ±) (2cosĀ² Ī± - 1) - cos Ī±
             = 2 (8cosāµĪ± - 10cosĀ³ Ī± + 3cos Ī±) - cos Ī±
Cos 5Ī± = 16cosāµ Ī± - 20cosĀ³ Ī± + 5cosĪ± (terbukti).
64)         Cos 5Ī± = cos(2Ī± +3Ī±) = cos 2Ī±.cos 3Ī± ā€“ sin 2Ī±.sin 3Ī± = (2cosĀ²Ī± ā€“ 1) (4cosĀ³Ī± -3cosĪ±) ā€“ 2sinĪ±.cosĪ± (3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±) = 8cosāµĪ± - 10cosĀ³Ī± + 3cosĪ± ā€“ 6cosĪ±sinĀ²Ī± +8cosĪ±sinā“Ī± = 8cosāµĪ± - 10cosĀ³Ī± + 3cosĪ± ā€“ 6cosĪ±(1-cosĀ²Ī±) + 8cos(1-cosĀ²Ī±)Ā²
        = 8cosāµĪ± - 10cosĀ³Ī± + 3cosĪ± ā€“ 6cosĪ± + 6cosĀ³Ī± + 8cos -16cosĀ³Ī± +8cosāµĪ±,
          Cos 5Ī± = 16cosāµ Ī± - 20cosĀ³ Ī± + 5cosĪ±
65)         Cos 5Ī± = cos(2Ī± +3Ī±) = cos(2 Ī±)cos(3 Ī±) - sin(2 Ī±)sin(3 Ī±)
= (cosĀ²Ī± āˆ’sinĀ²Ī±) (cosĀ³Ī± āˆ’3sinĀ²Ī± cos Ī±) āˆ’ 2sin Ī± cos Ī± (3sin Ī± cosĀ² Ī± āˆ’sinĀ³ Ī±)
= cos
āµĪ± āˆ’ 3sinĀ² Ī± cosĀ³ Ī± āˆ’ sinĀ² Ī± cosĀ³ Ī± + 3sinā“Ī± cos Ī± āˆ’ 6sinĀ² Ī± cosĀ³ Ī± + 2sinā“ Ī± cos Ī±
= 5sin
ā“ Ī± cos Ī± āˆ’ 10sinĀ² Ī± cosĀ³ Ī± + cosāµĪ±
= 5(1
āˆ’cosĀ² Ī±)Ā²cos Ī± āˆ’ 10(1āˆ’cosĀ² Ī±)cosĀ³ Ī± + cosāµ Ī±
= 5cos
 Ī± (cosā“ Ī± āˆ’2cosĀ² Ī± +1) āˆ’ 10cosĀ³ Ī± (1āˆ’cosĀ² Ī±) + cosāµ Ī±
= 5cos
āµ Ī± āˆ’ 10cosĀ³ Ī± + 5cos Ī± āˆ’ 10cosĀ³ Ī± + 10cosāµ Ī± + cosāµ Ī±
Cos 5Ī± = 16cosāµĪ± āˆ’ 20cosĀ³ Ī± + 5cos Ī± (terbukti)
66)         Tan 5Ī± = sin 5Ī±/cos 5Ī±
                  = (5 sin Ī± - 20 sinĀ³ Ī± + 16 sināµ Ī±)/(16cosāµ Ī± - 20cosĀ³ Ī± + 5cosĪ±)
Tan 5Ī± = (5tan Ī± - 10 tanĀ³Ī± + tanāµĪ±)/ (1-10tanĀ²Ī± + 5tanā“Ī±) (Terbukti)
67)         Sin (6Ī±) = sin (2 Ā· 3Ī±) = 2sin (3Ī±) cos (3Ī±)
sin (3Ī±) = sin (2Ī± + Ī±) = sin (2Ī±) cos (Ī±) + cos (2Ī±) sin (Ī±)
cos (3Ī±) = cos (2Ī± + Ī±) = cos (2Ī±) cos (Ī±) - sin (2Ī±) cos (Ī±)
sin (2Ī±) = 2sin (Ī±) cos (Ī±)
cos (2Ī±) = cosĀ² (Ī±) - sinĀ² (Ī±)
jadi, kita mendapatkan
2sin (3Ī±) cos (3Ī±) = 2 (sin (2Ī±) cos (Ī±) + cos (2Ī±) sin (Ī±)) (cos (2Ī±) cos (Ī±) - sin (2Ī±) cos (Ī±))
             = 2 (2sin (Ī±) cosĀ² (Ī±) + cosĀ² (Ī±) sin (Ī±) - sinĀ³ (Ī±)) (cosĀ³ (Ī±) -sin(Ī±) cosĀ²(Ī±) - 2sin (Ī±) cosĀ²(Ī±))
             = 2 (3sin (Ī±) cosĀ²(Ī±) - sinĀ³ (Ī±)) (cosĀ³ (Ī±) - 3sin (Ī±) cosĀ²(Ī±))
            = 2 [3sin (Ī±) cosāµ (Ī±) -9sinĀ² (Ī±) cosāµ (Ī±) -3sinā“ (Ī±) cosĀ² (Ī±) + 3sinā“ (Ī±) cos (Ī±)]
Sin 6Ī± = 6sin (Ī±) cos (Ī±) [cosā“ (Ī±) - 3sin (Ī±) cosā“ (Ī±) - sinĀ³ (Ī±) cos (Ī±) + sinĀ³ (Ī±)] (terbukti)
68)         Sin(6Ī±) = sin(3Ī± + 3Ī±) = 2sin(3Ī±)cos(3Ī±)
sin(3Ī±) = sin(2Ī± + Ī±) = sin(2Ī±)cos(Ī±) + cos(2Ī±)sin(Ī±)
cos(3Ī±) = cos(2Ī± + Ī±) = cos(2Ī±)cos(Ī±) - sin(2Ī±)sin(Ī±)
sin(2Ī±) = 2sin(Ī±)cos(Ī±)
cos(2Ī±) = cosĀ²(Ī±) - sinĀ²(Ī±)
sehingga sin(3Ī±) = 2sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) + sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) - sinĀ³(Ī±) = 3sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) - sinĀ³(Ī±).
dan cos(3Ī±) = cosĀ³(Ī±) - cos(Ī±)sinĀ²(Ī±) - 2cos(Ī±)sinĀ²(Ī±) = cosĀ³(Ī±) - 3cos(Ī±)sinĀ²(Ī±).
sin(6Ī±) = 2(3sin(Ī±)cosĀ²(Ī±) - sinĀ³(Ī±))(cosĀ³(Ī±) - 3cos(Ī±)sinĀ²(Ī±))
            = 2(3sin(Ī±)cosāµ(Ī±) - 9(cos(Ī±)sin(Ī±))Ā³ - (sin(Ī±)cos(Ī±))Ā³ + 3cos(Ī±)sināµ(Ī±))
Sin 6Ī±= 6sin(Ī±)cosāµ(Ī±) - 20(cos(Ī±)sin(Ī±))Ā³ + 6cos(Ī±)sināµ(Ī±)
69)         Sin 6Ī± = sin (4Ī± +2Ī±) = sin4Ī±cos2Ī± + cos4Ī±sin2Ī± = 2sin2Ī±.cos2Ī±.cos2Ī± + (1 ā€“ 2 sinĀ²2Ī±)sin2Ī± = 2sin2Ī± (1 ā€“ sinĀ²2Ī±) + (1 ā€“ 2sinĀ²2Ī±)sin2Ī± = 2 sin2Ī± ā€“ 2 sinĀ³2Ī± + sin2Ī± ā€“ 2sinĀ³2Ī± = 3sin2Ī± ā€“ 4sinĀ³2Ī±
70)         Cos 6Ī± = cos 3(2Ī±)
          cos 3Ī± = 4 cosĀ³Ī± - 3cos Ī±
cos 6Ī± = 4 [ (2 cosĀ² (Ī±) - 1)Ā³ - 3 ( 2 cosĀ²(Ī±) -1 ) ]
             = 4 [ 2 cosĀ² (Ī±) - (1)Ā³ - 3( 2 cosĀ²(Ī±) )Ā² + 3 ( 2 cosĀ² (Ī±) ] - 6 cosĀ² (Ī±) + 3
             = 4 [ 8 cosā¶ (Ī±) - 1 - 12 cosā“ (Ī±) + 6 cosĀ² (Ī±) ] - 6 cosĀ² (Ī±) + 3
             = 32 cosā¶ (Ī±) - 4 - 48 cosā“ (Ī±) + 24 cosĀ² (Ī±) - 6 cosĀ² (Ī±) + 3
             = 32 cosā¶ (Ī±) - 48 cosā“ (Ī±) + 18 cosĀ² (Ī±) - 1
Cos 6Ī± = 32 cosā¶ (Ī±) - 48 cosā“ (Ī±) + 18 cosĀ² (Ī±) - 1 (terbukti)
71)         Cos 6Ī± = cos(4Ī±+2Ī±)
            = cos4Ī± cos2Ī±-sin4Ī± sin2Ī±
            = [2cosĀ²2Ī±-1][2cosĀ²Ī±-1]-[2sin2Ī±cos2Ī±][2sinĪ±cosĪ±]
            = [2(2cosĀ²Ī±-1)Ā²-1][2cosĀ²Ī±-1]-[2*2sinĪ±cosĪ±(2cosĀ²Ī±-1)][2sinĪ±cosĪ±]
            = [2(4cosā“Ī±-4cosĀ²Ī±+1)-1][2cosĀ²Ī±-1]-[8sinĀ²Ī±cosĀ²Ī±(2cosĀ²Ī±-1)]
            = [8cosā“Ī±-8cosĀ²Ī±+1][2cosĀ²Ī±-1]-[8(1-cosĀ²Ī±)cosĀ²Ī±(2cosĀ²Ī±-1)]
            = [16cos
ā¶Ī±-8cosā“Ī±-16cosā“Ī±+8cosĀ²Ī±+2cosĀ²Ī±-1]-[(8cosĀ²Ī±-8cosā“Ī±)(2cosĀ²Ī±-1)]
            = [16cos
ā¶Ī±-24cosā“Ī±+10cosĀ²Ī±-1]-[16cosā“Ī±-8cosĀ²Ī±-16cosā¶Ī±+8cosā“Ī±]
            = [16cos
ā¶Ī±-24cosā“Ī±+10cosĀ²Ī±-1]-[24cosā“Ī±-8cosĀ²Ī±-16cosā¶Ī±]
Cos 6Ī±= 32cos
ā¶Ī± - 48cosā“Ī± + 18cosĀ²Ī±-1 (terbukti)
72)         cos 6Ī± = 2cosĀ²Ī± 3Ī± - 1
           = 2(4cosĀ³Ī± - 3cosĪ±)Ā² - 1
           = 2(16 cosā¶Ī± + 9cosĀ²Ī± - 24cosĀ²Ī±) - 1
Cos 6Ī±= 32cosā¶Ī± - 48cosā“Ī± + 18cosĀ²Ī±-1 (terbukti)
73)         Sin 8Ī± = sin 2(4Ī±) kita tahu bahwa sin 2Ī± = 2sinĪ±.cosĪ±
          Sin 2(4Ī±) = 2 sin 4Ī±.cos 4Ī± sehingga
          Sin 4Ī± = sin 2(2Ī±) = 2sin2Ī±.cos2Ī± maka
          Sin 8Ī± = 2{2sin 2Ī±cos 2Ī±}cos 4Ī± = 4 sin 2Ī±cos 2Ī±cos 4Ī±
          Memasukkan sin 2Ī± = 2sinĪ±cosĪ± ke dalam persamaan
          = 2 sin 4Ī±cos4Ī± = 2(2sin2Ī±.cos2Ī±)cos 4Ī± = 4 sin 2Ī±cos 2Ī±cos 4Ī± = 4(2sinĪ±.cosĪ±)cos 2Ī±cos 4Ī±
          Sin 8Ī± = 8sinĪ±.cosĪ±.cos2Ī±.cos4Ī±
74)         Cos 8Ī± = cos(4Ī±+4Ī±) = cos 4Ī±.cos4Ī± ā€“ sin 4Ī±.sin4Ī± = cosĀ²4Ī± ā€“ sinĀ²4Ī±
75)         Cos 8Ī± = cosĀ²4Ī± - sinĀ²4Ī± = (1-sinĀ²4Ī±) ā€“ sinĀ²4Ī± = 1 ā€“ 2 sinĀ²4Ī±
76)         Cos 8Ī± = cosĀ²4Ī± ā€“ sinĀ²4Ī± = cosĀ²4Ī± ā€“ (1 ā€“ cosĀ²4Ī±) = 2cosĀ²4Ī± ā€“ 1.
77)         buktikan identitas berikut :sec 2Ī± = ( cot Ī± + tan Ī± ) / (cot Ī± - tan Ī±)!
          = [ (cos Ī± / sin Ī± )+( sin Ī± / cos Ī± ) ] / [(cos Ī± / sin Ī±)-(sin Ī± /cos Ī±) ]
= [cosĀ²( Ī± ) + sinĀ²( Ī±) ] / [ cosĀ²( Ī± ) - sinĀ²( Ī±) ]
= 1 / ( cos (2Ī±))
= sec (2Ī±) 
78)         Tan 2Ī±= (2 tan Ī±)/(1-tanĀ²Ī±)
79)         Tan 3Ī± = (3tan Ī± - tanĀ³Ī±)/(1 - 3tanĀ²Ī±)
80)         Tan 4ɑ = {4tanĪ± ā€“ 4 tanĀ³Ī±}/{1-6tanĀ²Ī± + tanā“Ī±}
81)         Tan 5Ī± = (5tan Ī± - 10 tanĀ³Ī± + tanāµĪ±)/ (1-10tanĀ²Ī± + 5tanā“Ī±)
82)         Tan 6Ī± = (6tanĪ± - 20tanĀ³Ī± + 6tanāµĪ±)/ (1-15tanĀ²Ī± + 15tanā“Ī± - tanā¶Ī±)
83)         Tan 7Ī± = (7tanĪ± - 35tanĀ³Ī± + 21tanāµĪ±- tanā·Ī±)/(1-21tanĀ²Ī± + 35tanā“Ī± - 7tanā¶Ī±)
84)         Tan 8Ī± = (8tanĪ± - 56tanĀ³Ī± + 56tanāµĪ± - 8tanā·Ī±)/(1-28tanĀ²Ī± + 70tanā“Ī± - 28tanā¶Ī± + tanāøĪ±)
85)         Tan 9Ī± = (9tanĪ± - 84tanĀ³Ī± + 126tanāµĪ± -36tanā·Ī± + tanā¹Ī±)/(1- 36tanĀ²Ī± + 126tanā“Ī± - 84tanā¶Ī± + 9tanāøĪ±)
86)         Tan 10Ī± = {10tanĪ± ā€“ 120tanĀ³Ī± +252tanāµĪ± ā€“ 120tanā·Ī± + 10 tanā¹Ī±}/{1 -45tanĀ²Ī± + 210tanā“Ī± ā€“ 120tanā¶Ī± +45tanāøĪ± ā€“ tanĀ¹Ā°Ī±}
87)         Buktikan bahwa {1 ā€“ tanĀ²Ī±}/{1+tanĀ²Ī±} = cos 2Ī±
                     Ruas kiri = {1 ā€“ tanĀ²Ī±}/{1+tanĀ²Ī±} = {1-(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}/{1+(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}
                     = {(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)-(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}/{(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±) + (sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}
                     = (cosĀ²Ī± ā€“ sinĀ²Ī±) / (cosĀ²Ī± + sinĀ²Ī±) = cos 2Ī±/1 = cos 2Ī± ruas kanan
88)         Buktikan bahwa sin 2Ī± = (2cot Ī±)/(1+cotĀ²Ī±)
          Ruas kanan = (2cot Ī±)/(1+cotĀ²Ī±) = {2(cos Ī±/sinĪ±)}/{1+(cosĀ²Ī±/sinĀ²Ī±)}
          = (2sin Ī±.cos Ī±)/(sinĀ²Ī±+cosĀ²Ī±) = 2 sinĪ±.cosĪ± = sin 2Ī±  
89)         Buktikan bahwa {1 ā€“ tanĀ²Ī±}/{1+tanĀ²Ī±} = cos 2Ī±
                     Ruas kiri = {1 ā€“ tanĀ²Ī±}/{1+tanĀ²Ī±} = {1-(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}/{1+(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}
                     = {(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)-(sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}/{(cosĀ²Ī±/cosĀ²Ī±) + (sinĀ²Ī±/cosĀ²Ī±)}
                     = (cosĀ²Ī± ā€“ sinĀ²Ī±) / (cosĀ²Ī± + sinĀ²Ī±) = cos 2Ī±/1 = cos 2Ī± ruas kanan
90)         Buktikan bahwa sin 2Ī± = (2cot Ī±)/(1+cotĀ²Ī±)
                     Ruas kanan = (2cot Ī±)/(1+cotĀ²Ī±) = {2(cos Ī±/sinĪ±)}/{1+(cosĀ²Ī±/sinĀ²Ī±)}
                     = (2sin Ī±.cos Ī±)/(sinĀ²Ī±+cosĀ²Ī±) = 2 sinĪ±.cosĪ± = 2 sin Ī±
91)         Cos 2Ī± = 2cosĀ²Ī± ā€“ 1
92)         Cos 3Ī± = 4cosĀ³Ī± ā€“ 3 cosĪ±
93)         Cos 4Ī± = 8 cosā“Ī± ā€“ 8 cosĀ²Ī± + 1
94)         Cos 5Ī± = 16cosāµĪ± ā€“ 20 cosĀ³Ī± + 5 cos Ī±.
95)         Cos 6Ī± = 32cosā¶Ī± ā€“ 48 cosā“Ī± + 18 cosĀ²Ī± ā€“ 1.
96)         Cos 7Ī± = 64cosā·Ī± ā€“ 112 cosāµĪ± + 56 cosĀ³Ī± ā€“ 7cosĪ±
97)         Cos 8Ī± = 128cosāøĪ± ā€“ 256 cosā¶Ī± + 160 cosā“Ī± ā€“ 32cosĀ²Ī± + 1
98)         Cos 9Ī± = 256cosā¹Ī± ā€“ 576 cosā·Ī± + 432 cosāµĪ± ā€“ 120cosĀ³Ī± + 9cosĪ±
99)         Cos 10Ī± = 512cosĀ¹įµ’Ī± ā€“ 1280 cosāøĪ± + 1120cosā¶Ī± ā€“ 400cosā“Ī± + 50 cosĀ²Ī± ā€“ 1
100)     Sin 2Ī± = 2sin Ī± cosĪ±
101)     Sin 3Ī± = 3sinĪ± ā€“ 4sinĀ³Ī±
102)     Sin 4Ī± = 2sin 2Ī± (1-2sinĀ²Ī±) = 2 sin 2Ī± ā€“ 4sin2Ī± sinĀ²Ī± = 4sinĪ±.cosĪ± ā€“ 8sinĀ³Ī±cosĪ±
103)     Sin 5Ī± = 5sin Ī± ā€“ 20 sinĀ³Ī± + 16sināµĪ±
104)     Sin 6Ī± = 3sin 2Ī± ā€“ 4sinĀ³2Ī± = 6sinĪ±.cosĪ±-32sinĀ³Ī±cosĪ±+32sināµĪ±cosĪ±
105)     Sin 7Ī± = 7sin Ī± ā€“ 56sinĀ³Ī± + 112sināµĪ± ā€“ 64 sinā·Ī±.
106)     Sin 8Ī±= 8sinĪ±cosĪ±-80sinĀ³Ī±cosĪ±+192sināµĪ±cosĪ±-128sinā·Ī±cosĪ±
107)     Sin 9Ī± = 9sinĪ±-120sinĀ³Ī±+432sināµĪ±-576sinā·Ī±+256sinā¹Ī±
108)     Sin 10Ī± = 10sinĪ±cosĪ±-160sinĀ³Ī±cosĪ±+672sināµĪ±cosĪ±-1024sinā·Ī±cosĪ±+5125sinā¹Ī±cosĪ±
109)     sin(3Ī±) = 3 sin(Ī±) - 4 sinĀ³(Ī±),
110)     cos(3Ī±) = 4 cosĀ³(Ī±) - 3 cos(Ī±),
111)     tan(3Ī±) = [3 tan(Ī±)-tanĀ³(Ī±)]/[1-3 tanĀ²(Ī±)]
112)     sin(4Ī±) = 4 sin(Ī±)cos(Ī±)[2 cosĀ²(Ī±)-1],
113)     cos(4Ī±) = 8 cosā“(Ī±) - 8 cosĀ²(Ī±) + 1.
114)     sin(5Ī±) = 5 sin(Ī±) - 20 sinĀ³(Ī±) + 16 sināµ(Ī±),
115)     cos(5Ī±) = 16 cosāµ(Ī±) - 20 cosĀ³(Ī±) + 5 cos(Ī±).
116)     sin(6Ī±) = 2 sin(Ī±)cos(Ī±)[16 cosā“(Ī±) - 16 cosĀ²(Ī±) + 3],
117)     cos(6Ī±) = 32 cosā¶(Ī±) - 48 cosā“(Ī±) + 18 cosĀ²(Ī±) - 1.
sin(nx) = 2 sin([n-1]x)cos(x) - sin([n-2]x),
cos(nx) = 2 cos([n-1]x)cos(x) - cos([n-2]x),
tan(nx) = (tan[(n-1)x]+tan[x])/(1-tan[(n-1)x]tan[x]) karena tan nx = tan{(n-1)x+x} jadi tan nx = tan{(n-1)x+x}={tan(n-1)x+tanx}/{1-tan(n-1)x.tanx} jika tan (n-1)x = H/k maka tan nx = {(h/k)+tan x}/{1-(H/k)tanx} maka

tan (nx) = {H+tanx.k}/{k-Htan x}
lanjutan Sudut Ganda atau rangkap part 2 klik disini

Tidak ada komentar:

Posting Komentar